استفاده از الگوریتم ژنتیک برای حل یک معادله ساده ریاضی

استفاده از الگوریتم ژنتیک برای حل یک معادله ساده ریاضی
این مطلب استفاده از الگوریتم ژنتیک را به شکلی ساده به همراه مثال برای افراد مبتدی شرح می دهد.ابتدا فلسفه اساسی و فلوچارت این الگوریتم شرح داده می شود و در مرحله بعد محاسبات قدم به قدم الگوریتم ژنتیک برای حل یک مسائله ساده تساوی ریاضیات بصورت کامل شرح داده می شود.
فلسفه پایه الگوریتم های ژنتیک
الگوریتم ژنتیک بوسیله goldberg توسعه و گسترش یافت که الهام گرفته  از تئوری تکامل داروین است ، مبنای این نظریه هم بقای گونه ها بر اساس میزان ارزش انها ست هرچه قوی تر احتمل بقا هم بیشتر. .داروین همچنین معتقد است که بقای یک نسل می‌تواند بوسیله فرآیند تولید مثل انتخاب ، برش و جهش  حفظ شود. بعدها از ایده داروین در خصوص تکامل برای بدست آوردن راه حل بهینه در مسائل محاسباتی استفاده شد که یکی از معروف ترین این الگوریتم ها ، الگوریتم ژنتیک است.

راه حلی که توسط الگوریتم های ژنتیک تولید می‌شود یک کروموزوم نامیده می‌شود و  مجموعه از کروموزم ها ، جمعیت population نامیده می شوند.کروموزم ها از ژنها تشکیل شده‌اند و مقدار آن می‌تواند عددی ، دودویی ، سمبل ها یا کاراکتر ها باشد که وابسته به مسائله است که قصد حل نمودن آن را داریم.شایان ذکر است نحوه نمایش کروموزوم ها و مقادیر ژنها یکی از اساسی ترین  قسمت های حل یک مسائله با استفاده از الگوریتم ژنتیک است و دیگر قسمت بسیار مهم در این الگوریتم ها تعریف تابع برازش است که در قسمت بعدی به ٔآن پرداخته می شود.
ارزش و بهای هر کروموزم توسط تابعی تحت نام برازش اندازه گیری می شود ، در واقع تابع برازش میزان مفید و مناسب بودن راه حل برای مسائله مورد نظر را اندزه گیری می نماید.پس ‌از هر مرحله ای که الگوریتم ژنتیک تکرار شد برازش هر یک از راه حل های تولید شده ( کروموزوم ها ) اندزه گیری می شود.برخی از کروموزم ها درون جمعیت تحت پروسه‌ای به نام crossover با یکدیگر ترکیب می‌شوند و بدین صورت کروموزم های جدیدی که فرزند نامیده می‌شود تولید می‌کنند که ترکیب ژن این کروموزم های جدید ترکیبی از ژنهای والدین آنهاست.در یک نسل تعدای از کروموزومها نیز در ژنهای خود دچار جهش mutation می شوند.
تعداد کروموزوم هایی که تحث تأثیر crossover و جهش mutation قرار میگیرند بوسیله نرخ برش و نرخ جهش کنترل می شوند.کروموزومی در جمعیت که برای نسل بعدی حفظ و نگاهداری می‌شود بوسیله قانون تکامل داروین انتخاب می شود.کروموزمی که مقدار برازش بالاتری دارد از احتمال بالاتری برای انتخاب دوباره در نسل بعدی برخوردار است.بعد از چندین نسل ، مقدار کروموزم به یک مقدار خاص که بهترین راه حل برای مسائله است همگرا می شود.
مراحل الگوریتم ژنتیک
۱: در الگوریتم ژنتیک فرآیند به شرح ذیل است
قدم ۱ : تعداد کروموزوم ها ، نسل ها و نرخ جهش و نرخ برش  معیین می شود
قدم ۲: بر اساس تعداد جمعیت کروموزوم – کروموزوم   ایجاد می شود و ژنهای کروموزوم –   با یک مقدار تصادفی مقدار دهی اولیه می شوند.
قدم ۳ : قدم‌های ۴-۷ را تا زمانی که تعداد نسل ها برآورده شود ( تأمین شود) انجام می شود
قدم ۴ :مقدار برازش کروموزوم  بوسیله محاسبه تابع هدف objective function مورد ارزیابی قرار می گیرد
قدم ۵ : انتخاب کرموزوم
قدم ۵ : برش
قدم ۶:جهش
قدم ۷: کرموزم جدید (فرزند)
قدم ۸ :راه حل( بهترین کرموزوم ها)
فلوچارت الگوریتم را می‌توان در شکل زیر مشاهده نمود :

مثال عددی
در اینجا یک مثال از کاربردی که از الگوریتم ژنتیک برای حل نمودن یک مسائله ترکیبی استفاده می‌کند را توضیح می دهیم.فرض کنیم که تساوی زیر را داریم
a+db+3c+4d=30
از الگوریتم ژنتیک برای بدست آوردن مقادیر a,b,c,d تا برای حل تساوی ذکر شده استفاده می کنیم.
.در ابتدا باید تابع هدف را فرمول کنیم ، برای این مسائله هدف مینیمم نمودن مقدار تابع f(x)  جایی که
 f (x) = ((a + 2b + 3c + 4d) – 30)
از آنجا که چهار متغیر در تساوی وجود دارد ، یعنی a,b,c,d می‌توانیم کروموزوم ها را به صورت زیر شکل دهیم

d

c

b

a

برای افزودن سرعت محاسبات ، می‌توانیم مقدار متغیر ها a,b,c,d را به اعداد صحیح بین ۰ تا ۳۰ محدود نماییم.
قدم اول: مقدار دهی اولیه
برای نمونه تعداد کروموزوم ها درون جمعیت را ۶ عدد تعریف می‌کنیم ، سپس مقادیر تصادفی را برای ژنهای a,b,c و d که تشکیل‌دهنده کروموزم مورد نظر ما هستند تولید می کنیم.پس همانطور که ملاحظه می شود ۶ کروموزمی را که در اختیار داریم به صورت زیر با اعداد تصادفی مقدار دهی می نماییم

Chromosome[1] = [a;b;c;d] = [12;05;23;08]

Chromosome[2] = [a;b;c;d] = [02;21;18;03]
Chromosome[3] = [a;b;c;d] = [10;04;13;14]
Chromosome[4] = [a;b;c;d] = [20;01;10;06]
Chromosome[5] = [a;b;c;d] = [01;04;13;19]
Chromosome[6] = [a;b;c;d] = [20;05;17;01]

قدم دوم : ارزیابی راه حل ها ( کروموزوم ها)

در این مرحله مقدار تابع هدف برای هر کروموزمی که در مرحله مقدار دهی جمعیت اولیه تولید شده است محسابه می شود

F_obj[1] = Abs(( 12 + 2*05 + 3*23 + 4*08 ) - 30)= Abs((12 + 10 + 69 + 32 ) - 30)= Abs(123 - 30)= 93

F_obj[2] = Abs((02 + 2*21 + 3*18 + 4*03) - 30)= Abs((02 + 42 + 54 + 12) - 30)= Abs(110 - 30)= 80
F_obj[3] = Abs((10 + 2*04 + 3*13 + 4*14) - 30)= Abs((10 + 08 + 39 + 56) - 30)= Abs(113 - 30)= 83
F_obj[4] = Abs((20 + 2*01 + 3*10 + 4*06) - 30)= Abs((20 + 02 + 30 + 24) - 30)= Abs(76 - 30)= 46
F_obj[5] = Abs((01 + 2*04 + 3*13 + 4*19) - 30)= Abs((01 + 08 + 39 + 76) - 30)= Abs(124 - 30)= 94
F_obj[6] = Abs((20 + 2*05 + 3*17 + 4*01) - 30)= Abs((20 + 10 + 51 + 04) - 30)= Abs(85 - 30)= 55

مرحله سوم : انتخاب

با ارزشترین کروموزوم از شانس و احتمال بیشتری برای برای انتخاب شدن به منظور تولید نسل بعدی دارد.برای محاسبه احتمال برازش باید برازش هر کروموزم محاسبه شود. برای جلوگیری از مشکل تقسیم بر صفر مقدار تابع هدفی که برای هر کرموزم در مرحله قبل بدست آمد با عدد ۱ جمع می شود :

Fitness[1] = 1 / (1+F_obj[1])= 1 / 94= 0.0106

Fitness[2] = 1 / (1+F_obj[2])= 1 / 81= 0.0123
Fitness[3] = 1 / (1+F_obj[3])= 1 / 84= 0.0119
Fitness[4] = 1 / (1+F_obj[4])= 1 / 47= 0.0213
Fitness[5] = 1 / (1+F_obj[5])= 1 / 95= 0.0105
Fitness[6] = 1 / (1+F_obj[6])= 1 / 56= 0.0179
Total = 0.0106 + 0.0123 + 0.0119 + 0.0213 + 0.0105 + 0.0179= 0.0845

احتمال مربوط به هر کروموزم را بو سیله فرمول P[i] = Fitness[i] / Total محاسبه می نماییم :

P[1] = 0.0106 / 0.0845= 0.1254
P[2] = 0.0123 / 0.0845= 0.1456
P[3] = 0.0119 / 0.0845= 0.1408P
[4] = 0.0213 / 0.0845= 0.2521
P[5] = 0.0105 / 0.0845= 0.1243P
[6] = 0.0179 / 0.0845= 0.2118

با توجه به احتمالاتی که در بالا محاسبه شده است مشاهده می وشد که کروموزوم ۴ بیشترین برازش را دارا می باشد و بنابراین احتمال انتخاب شدن آن برای نسل بعدی کروموزوم ها بسیار بالاست.برای فرآیند انتخاب از روش چرخ رولت استفاده می کنیم که بدین منظور ابتدا باید مقادیر احتمال تجمعی ( cumulative probability) را محاسبه کنیم:

C[1] = 0.1254

C[2] = 0.1254 + 0.1456= 0.2710
C[3] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408= 0.4118
C[4] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521= 0.6639
C[5] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521 + 0.1243= 0.7882
C[6] = 0.1254 + 0.1456 + 0.1408 + 0.2521 + 0.1243 + 0.2118= 1.0

با داشتن مقادیر احتمال تجمعی استفاده از چرخ رولت در فرآیند انتخاب امکان پذیر می گردد.فرآیند بعدی تولید یک عدد تصادفی در محدوده ۰ تا ۱ است که آن را R نامیم :

R[1] = 0.201, R[2] = 0.284, R[3] = 0.099, R[4] = 0.822, R[5] = 0.398, R[6] = 0.501
اگر برای مثال عدد تصادفی R[1]  بزرگتر از C[1] و کوچکتر از C[2] بود در این صورت     Chromosome [2] به عنوان یک کروموزوم در جمعیت جدید برای تولید نسل بعدی مورد استفاده قرار می گیرد. با توجه به مقادیر نمونه های بالا  خواهیم داشت :

NewChromosome[1] = Chromosome[2]

NewChromosome[2] = Chromosome[3]
NewChromosome[3] = Chromosome[1]
NewChromosome[4] = Chromosome[6]
NewChromosome[5] = Chromosome[3]
NewChromosome[6] = Chromosome[4]

و کروموزوم ها در جمعیت به صورت زیر خواهند شد :

Chromosome[1] = [02;21;18;03]

Chromosome[2] = [10;04;13;14]
Chromosome[3] = [12;05;23;08]
Chromosome[4] = [20;05;17;01]
Chromosome[5] = [10;04;13;14]
Chromosome[6] = [20;01;10;06]

مرحله ۴ : برش (Crossover)

در این مثال از برش یک نقطه ای(one cut point) استفاده می نماییم.به صورت تصادفی یک محل در کروموزم والدین انتخاب شده و سپس زیر کرموزوم هایی که از این نقطه بدست آمده اند در دو واحد تعویض می شود.کروموزم های والدینی که با همدیگر جفت شده اند به صورت تصادفی انتخاب می شوند و تعداد کروموزوم هایی که جفت می شوند توسط پارامتری به نام نرخ برش (Crossover rate ρc ) معین می شود.شبه کد فرآیند برش در ذیل آورده شده است :

begin

k← 0;
while(k<population) do
          R[k] ← random(0-1);
        if (R[k] < ρc ) then
                 select Chromosome[k] as parent;
         end;
          k = k + 1;
end;
end;

اگر  R [k] <ρc باشد کروموزوم K به عنوان یکی از والدین انتخاب می شود.فرض کنیم که نرخ برش را ۲۵٪ در نظر گرفته باشیم ، در این صورت کروموزم شماره k در صورتی

برای برش انتخاب می شود اگر مقدار عدد تصادفی تولید شده برای کروموزوم k کمتر از ۰.۲۵ باشد. فرآیند  را به صورت زیر ادامه می دهیم.ابتدا به تعداد جمعیتی که داریم عدد تصادفی R را تولید می نماییم:

R[1] = 0.191, R[2] = 0.259, R[3] = 0.760, R[4] = 0.006, R[5] = 0.159, R[6] = 0.340

با توجه به اعداد نمونه تصادفی که در بالا آورده شده است ، والدین  Chromosome [1], Chromosome [4] و Chromosome [5] برای عملگرد برش انتخاب می شوند.حالا با توجه این والدین ترکیب همه آنها را بدست می آوریم که بصورت زیر خواهد بود

Chromosome[1] >< Chromosome[4]

Chromosome[4] >< Chromosome[5]

Chromosome[5] >< Chromosome[1]

بعد از اتمام انتخاب کروموزوم ها برای برش ، فرآیند بعدی مشخص نمودن محل نقطه برش است.این کار با تولید یک عدد تصادفی بین عدد ۱ تا طول کروموزوم -۱ انجام می شود.در مثال ما عدد تصادفی باید بین ۱ تا ۳ باشد.بعد از اینکه نقطه برش را بدست آوردیم کروموزوم های والد در آن نقطه برش خورده و ژن های آنها تعویض می شود و یک فرزند جدید تولید می شود.برای مثال ما سه عدد تصادفی ذیل را تولید نمودیم

C[1] = 1,C[2] = 1,C[3] = 2

و کروموزم ها  به صورت زیر تحت تاثیر عملگر برش قرار می گیرند.همانگونه که ملاحظه می شود ژنهای والدین به ترتیب در ژن های شماره ۱، شماره ۱ و شماره ۲ برش داده می شوند.

Chromosome[1] = Chromosome[1] >< Chromosome[4]

= [02;21;18;03] >< [20;05;17;01]
= [02;05;17;01]
Chromosome[4] = Chromosome[4] >< Chromosome[5]
= [20;05;17;01] >< [10;04;13;14]
= [20;04;13;14]
Chromosome[5] = Chromosome[5] >< Chromosome[1]
= [10;04;13;14] >< [02;21;18;03]
= [10;04;18;03]

بعد از انجام اولین فرآیند برش در الگوریتم ژنتیک مورد نظرمان جمعین ما به صورت زیر خواهد بود:

Chromosome[1] = [02;05;17;01]
Chromosome[2] = [10;04;13;14]
Chromosome[3] = [12;05;23;08]
Chromosome[4] = [20;04;13;14]
Chromosome[5] = [10;04;18;03]
Chromosome[6] = [20;01;10;06]

مرحله ۵  جهش
تعداد کروموزوم هایی که جمعیت مورد جهش قرار می گیرند توسط پارامتر نرخ جهش مشخص می شوند.فرآیند جهش با تعویض تصادفی مقدار یک ژن که در یک موقعیت تصادفی قرار دارد با مقدار جدید انجام می شود.برای انجام این فرآیند مراحل که در ادامه گفته می شود را انجام می دهیم.ابتدا باید مجموع کل ژنهای موجود در جمعیت را محاسبه نماییم.که در مثال ما از فرمول زیر بدست می آید
تعداد کل ژنها=تعداد ژنهای هر کروموزوم*تعداد جمعیت =۴*۶=۲۴
فرآیند جهش با تولید یک عدد تصادفی بین ۱ و تعداد کل ژنها (۱ تا ۲۴ در مثال ما) انجام می شود.اگر مقدار عدد تصادفی تولید شده کمتر از نرخ جهش (mutaion_rate ρm) باشد در این صورت موقعیت این ژن در کروموزم نشان گذاری می شود.فرض کنیم که نرخ جهش را ۱۰٪  در نظر بگیریم ، که در این صورت انتظار داریم که ۱۰٪ ( ۰.۱) کل ژنها در جمعیت جهش داده شوند.
تعداد کل جهش ها = ۰.۱*۲۴=۲.۳≈۲
حالا اگر فرض کنیم که اعداد تصادفی که تولید شده است ۱۲ و ۱۸ باشند در این صورت کروموزم هایی که جهش دارند کروموزم شماره ۳ در ژن شماره ۴ آن و کروموزوم شماره ۵ در ژن شماره ۲ آن خواهند بود.مقدار ژنهای جهش یافته در نقطه جهش بوسیله اعداد تصادفی بین ۰ تا ۳۰ عوض می شوند.اگر اعداد تصادفی تولید شده ۲ و ۵ باشند سپس ترکیب کروموزوم ها بعد از جهش به صورت زیر است :

Chromosome[1] = [02;05;17;01]

Chromosome[2] = [10;04;13;14]
Chromosome[3] = [12;05;23;02]
Chromosome[4] = [20;04;13;14]
Chromosome[5] = [10;05;18;03]
Chromosome[6] = [20;01;10;06]

بعد از پایان فرآیند جهش یک تکرار یا یک نسل از الگوریتم ژنتیک داریم که باید این نسل جدید  را مجددا توسط تابع هدف مورد ارزیابی قرار دهیم که ارزیابی آن مانند آنچه قبلا گفته شد انجام می شود :

Chromosome[1] = [02;05;17;01]
F_obj[1] = Abs(( 02 + 2*05 + 3*17 + 4*01 ) - 30)
= Abs((2 + 10 + 51 + 4 ) - 30)
= Abs(67 - 30)
= 37
Chromosome[2] = [10;04;13;14]
F_obj[2] = Abs(( 10 + 2*04 + 3*13 + 4*14 ) - 30)
= Abs((10 + 8 + 33 + 56 ) - 30)
= Abs(107 - 30)
= 77
Chromosome[3] = [12;05;23;02]
F_obj[3] = Abs(( 12 + 2*05 + 3*23 + 4*02 ) - 30)
= Abs((12 + 10 + 69 + 8 ) - 30)
= Abs(87 - 30)
= 47
Chromosome[4] = [20;04;13;14]
F_obj[4] = Abs(( 20 + 2*04 + 3*13 + 4*14 ) - 30)
= Abs((20 + 8 + 39 + 56 ) - 30)
= Abs(123 - 30)
= 93
Chromosome[5] = [10;05;18;03]
F_obj[5] = Abs(( 10 + 2*05 + 3*18 + 4*03 ) - 30)
= Abs((10 + 10 + 54 + 12 ) - 30)
= Abs(86 - 30)
= 56
Chromosome[6] = [20;01;10;06]
F_obj[6] = Abs(( 20 + 2*01 + 3*10 + 4*06 ) - 30)
= Abs((20 + 2 + 30 + 24 ) - 30)
= Abs(76 - 30)
= 46

همانگونه که از ارزیابی کروموزوم ها در جمعیت جدید مشاهده می شود تابع هدف کاهش یافته است که به این معناست که ما کروموزومها یا راه حل های بهتری نسبت هب کروموزومهای نسل قبل داریم.بنابراین کروموزومها برای تکرار بعدی به صورت زیر خواهد بود :

Chromosome[1] = [02;05;17;01]

Chromosome[2] = [10;04;13;14]
Chromosome[3] = [12;05;23;02]
Chromosome[4] = [20;04;13;14]
Chromosome[5] = [10;05;18;03]
Chromosome[6] = [20;01;10;06]

کروموزم های جدید تحت تاثیر فرآیند مشابهی با آنچه با نسل قبلی کرموزمها انجام شد قرار می گیرند.مثل ارزیابی ، انتخاب ، برش و جهش و در پایان هر تکرار نیز نسل جدیدی از کروموزمها برای تکرار بعدی تولید میشود.این فرآیند تا رسیدن به تعداد تکرار های از پیش تعریف شده یا بدست آمدن یک شرط ادامه می یابد.در این مثال حدودا بعد از ۵۰ نسل بهترین کروموزم بدست می آید

Chromosome = [07; 05; 03; 01]

که بدان معناست که a=7,b=5,c=3,d=1 که اگر این اعداد را در معادله این که در ابتدا داشتیم قرار دهیم خواهیم داشت

a +2 b +3 c +4 d = 30

7 + (2 * 5) + (3 * 3) + (4 * 1) = 30

در این مثال ساده به خوبی کارایی و قدرت الگوریتم ژنتیک در حل مسائل بهینه سازی مشاهده می شود.

منبع : Genetic Algorithm for Solving Simple Mathematical Equality Problem